Exercice 18, § 2

Soit $E$ une suite spectrale (exercice 14), telle que le $A$-module $E_2$ soit de longueur finie. Soit $\chi$ l’ensemble des classes de $A$-modules de longueur finie ; montrer que l’on a $\chi(E_r)=\chi(E_2)=\chi(E_\infty)$ pour tout $r\geq2$ (X, p. 41). Si de plus $E$ converge vers un $A$-module gradué $G$, celui-ci est de longueur finie et on a $\chi(G)=\chi(E_\infty)$.