Bài tập 2, § 5

Cho M là một A-môđun. Người ta nói rằng một môđun con M’ của M là phẳng nếu phức được xác định bởi dãy khớp $0 \to M' \to M \to M/M' \to 0$ là phẳng (bài tập 1).

(a) Bây giờ chứng minh rằng khi A là một miền iđêan chính, khái niệm môđun con phẳng trùng với khái niệm của VII, § 2, bài tập 7.

(b) Giả sử rằng A-môđun M là phẳng. Bây giờ chứng minh rằng các điều kiện sau là tương đương:

α) môđun con M’ là phẳng ;

β) môđun thương $M/M'$ là phẳng ;

γ) với mọi iđêan a của A, ta có $M' \cap aM = aM'$.