Exercice 2, § 5

Soit M un A-module. On dit qu’un sous-module M’ de M est pur si le complexe défini par la suite exacte $0 \to M' \to M \to M/M' \to 0$ est pur (exercice 1).

a) Montrer que lorsque A est un anneau principal, la notion de sous-module pur coïncide avec celle de VII, § 2, exercice 7.

b) On suppose que le A-module M est plat. Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes :

α) le sous-module M’ est pur ;

β) le quotient $M/M'$ est plat ;

γ) pour tout idéal a de A, on a $M' \cap aM = aM'$.