Bài tập 3, § 5

Cho $M$ là một A-môđun, $n$ là một số nguyên $\geqslant 1$. Bây giờ chứng minh rằng các điều kiện sau là tương đương:

α) $M$ có một $n$-biểu diễn hữu hạn (X, p. 180, bài tập 6).

β) Đối với mọi hệ quy nạp lọc $(N_\alpha)_{\alpha \in I}$, đồng cấu chính tắc

là song ánh đối với $i < n$.

γ) Đối với mọi họ $(P_\beta)_{\beta \in J}$ các A-môđun phải, đồng cấu chính tắc

là song ánh đối với $i < n$.

δ) Đối với mọi tập hợp I, đồng cấu chính tắc $A_d^! \otimes_A M \to M^!$ là song ánh, và ta có

(Lập luận bằng quy nạp theo $n$, sử dụng bài tập 18, p. 170.)