Exercice 3, § 5

Algèbre, X, p. 187

Soient M un A-module, n un entier $\geqslant 1$ . Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes :

α) M admet une n-présentation finie (X, p. 180, exercice 6).

β) Pour tout système inductif filtrant $(N_\alpha)_{\alpha \in I}$ , l’homomorphisme canonique

\varprojlim \mathrm{Ext}_A^i(M, N_\alpha) \to \mathrm{Ext}_A^i(M, \varprojlim N_\alpha)

est bijectif pour

i < n

γ) Pour toute famille $(P_\beta)_{\beta \in J}$ de A-modules à droite, l’homomorphisme canonique

\mathrm{Tor}_i^A\left( \prod_{\beta \in J} P_\beta, M \right) \to \prod_{\beta \in J} \mathrm{Tor}_i^A(P_\beta, M)

est bijectif pour

i < n

δ) Pour tout ensemble I, l’homomorphisme canonique $A_d^! \otimes_A M \to M^!$ est bijectif, et on a

\mathrm{Tor}_i^A(A_d^!, M) = 0 \quad \text{pour } 0 < i < n .

(Raisonner par récurrence sur n, en utilisant l’exercice 18, p. 170.)

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