Bài tập 7, § 5

Cho $C$ là một $A$-phức, $M$ là một $A$-môđun. Môđun mở rộng của $M$ bởi $C$ (tương ứng. của $C$ bởi $M$) được gọi là môđun $k$ phân bậc

Nếu $f : C \to C'$ là một cấu xạ của các phức và $g : M \to M'$ là một đồng cấu của các $A$-môđun, ta đặt $\mathscr{E}xt_A(f, g) = H(\mathrm{Homgr}(f, I(g)))$, $\mathscr{E}xt_A(g, f) = H(\mathrm{Homgr}(L(g), f))$. a) Nếu $f : C \to C'$ là một đồng luân, các đồng cấu $k$ $\mathscr{E}xt_A(f, 1)$ và $\mathscr{E}xt_A(1 f)$ là song ánh. Nếu $C$ là xạ ảnh và bị chặn về bên phải (tương ứng. đơn ánh và bị chặn về bên trái), môđun $k$ phân bậc $\mathscr{E}xt_A(C, M)$ (tương ứng. $\mathscr{E}xt_A(M, C)$) là đẳng cấu với $H(\mathrm{Homgr}_A(C, M))$ (tương ứng. $H(\mathrm{Homgr}_A(M, C))$). b) Cho $0 \to C' \to C \to C'' \to 0$ là một dãy khớp của các $A$-phức và $0 \to M' \to M \to M'' \to 0$ là một dãy khớp của các $A$-môđun. Chứng minh rằng tồn tại các dãy khớp c) Chứng minh rằng tồn tại một dãy phổ $"E$ (X, pp. 175-177, exercises 14 to 17) hội tụ tới $\mathscr{E}xt_A(C, M)$ sao cho $"E_2^{pq} = H^q(\mathscr{E}xt_A^p(C, M))$. Nếu $C$ bị chặn về bên phải, chứng minh rằng tồn tại một dãy phổ $'E$, hội tụ tới $\mathscr{E}xt_A(C, M)$, sao cho $'E_2^{pq} = \mathrm{Ext}_A^p(H_q(C), M)$ (xét phức kép $\mathrm{Homgr}_A(C, I(M))$).