Exercice 7, § 5

Soient $C$ un $A$-complexe, $M$ un $A$-module. On appelle module d’extension de $M$ par $C$ (resp. de $C$ par $M$) le $k$-module gradué

Si $f : C \to C'$ est un morphisme de complexes et $g : M \to M'$ un homomorphisme de $A$-modules, on pose $\mathscr{E}xt_A(f, g) = H(\mathrm{Homgr}(f, I(g)))$, $\mathscr{E}xt_A(g, f) = H(\mathrm{Homgr}(L(g), f))$. a) Si $f : C \to C'$ est un homologisme, les $k$-homomorphismes $\mathscr{E}xt_A(f, 1)$ et $\mathscr{E}xt_A(1 f)$ sont bijectifs. Si $C$ est projectif et borné à droite (resp. injectif et borné à gauche), le $k$-module gradué $\mathscr{E}xt_A(C, M)$ (resp. $\mathscr{E}xt_A(M, C)$) est isomorphe à $H(\mathrm{Homgr}_A(C, M))$ (resp. $H(\mathrm{Homgr}_A(M, C))$). b) Soit $0 \to C' \to C \to C'' \to 0$ une suite exacte de $A$-complexes et $0 \to M' \to M \to M'' \to 0$ une suite exacte de $A$-modules. Montrer qu’il existe des suites exactes c) Montrer qu’il existe une suite spectrale $"E$ (X, pp. 175-177, exercices 14 à 17) convergeant vers $\mathscr{E}xt_A(C, M)$ telle que $"E_2^{pq} = H^q(\mathscr{E}xt_A^p(C, M))$. Si $C$ est borné à droite, montrer qu’il existe une suite spectrale $'E$, convergeant vers $\mathscr{E}xt_A(C, M)$, telle que $'E_2^{pq} = \mathrm{Ext}_A^p(H_q(C), M)$ (considérer le bicomplexe $\mathrm{Homgr}_A(C, I(M))$).