Bài tập 1, § 6

Cho $\rho : A \to B$ là một đồng cấu vành, $M, N$ là hai $B$-môđun trái, $P$ là một $B$-môđun phải. a) Gọi $L_B$ (tương ứng $L_A$) là một phân giải xạ ảnh của $B$-môđun (tương ứng của $A$-môđun) $M$. Chứng minh rằng tồn tại một cấu xạ $A$-tuyến tính của các phân giải $L_A \to L_B$, duy nhất sai khác bởi đồng luân; suy ra các đồng cấu $k$ phân bậc bậc không

b) Xét các đồng cấu chính tắc (X, p. 109) Cho $m : B \otimes_A M \to M, p : P \otimes_A B \to B$ và $n : N \to \operatorname{Hom}_A(B, N)$ là các đồng cấu $B$ được xác định bởi $m(b \otimes x) = bx, p(y \otimes b) = yb$ và $n(z)(b) = bz$ với $b \in B, x \in M, y \in P, z \in N$. Chứng minh các đẳng thức