Bài tập 14, § 8

Cho $x$ là một phần tử của A giản ước được bên trái. a) Chứng minh rằng iđêan $xA$ là hai phía khi và chỉ khi tồn tại một tự đồng cấu $\sigma$ của vành A sao cho $ax = x\sigma(a)$ với mọi $a \in A$. b) Từ nay, ta giả sử rằng các điều kiện của a) được thỏa mãn. Cho M là một A-môđun sao cho $xM = 0$. Chứng minh đẳng thức $\mathrm{dp}_A(M) = \mathrm{dp}_{A/xA}(M) + 1$ (có thể sử dụng dãy phổ của bài tập 6, d), p. 188). c) Giả sử rằng x thuộc căn của A, và A là Noether. Cho N là một A-môđun hữu hạn sinh, sao cho phép vị tự tỉ số x là đơn ánh trong N. Chứng minh rằng có $\mathrm{dp}_A(N) = \mathrm{dp}_{A/Ax}(N/xN)$. d) Với các điều kiện của c), chứng minh rằng có $\mathrm{dh}(A) = \mathrm{dh}(A/Ax) + 1$.