Exercice 14, § 8

Soit x un élément de A simplifiable à gauche. a) Montrer que l’idéal $xA$ est bilatère si et seulement s’il existe un endomorphisme $\sigma$ de l’anneau A tel que $ax = x\sigma(a)$ pour tout $a \in A$. b) On suppose désormais vérifiées les conditions de a). Soit M un A-module tel que $xM = 0$. Démontrer l’égalité $\mathrm{dp}_A(M) = \mathrm{dp}_{A/xA}(M) + 1$ (on pourra utiliser la suite spectrale de l’exercice 6, d), p. 188). c) On suppose que x appartient au radical de A, et que A est nœthérien. Soit N un A-module de type fini, tel que l’homothétie de rapport x soit injective dans N. Montrer que l’on a $\mathrm{dp}_A(N) = \mathrm{dp}_{A/Ax}(N/xN)$. d) Sous les conditions de c), montrer que l’on a $\mathrm{dh}(A) = \mathrm{dh}(A/Ax) + 1$.