Bài tập 22, § 8

Chứng minh rằng các điều kiện sau là tương đương:

$\alpha$) Mọi $A$-môđun có biểu diễn hữu hạn và có chiều xạ ảnh hữu hạn đều là xạ ảnh.

$\beta$) Mọi đồng cấu đơn ánh $A$-đồng cấu $A^p \to A^q$ đều có một phép co rút.

$\gamma$) Với mọi iđêan phải kiểu hữu hạn $\mathfrak{a}$ phân biệt với $A$, tồn tại một phần tử khác không $x$ của $A$ sao cho $x\mathfrak{a} = 0$.

δ) Mọi A-môđun phải đơn có biểu diễn hữu hạn đều đẳng cấu với một iđêan phải (cực tiểu) của A. (Nhận xét rằng điều kiện γ) tương đương với điều kiện β) trong trường hợp $p = 1$.)

T 23) Chứng minh rằng các điều kiện sau là tương đương: α) Mọi A-môđun có chiều xạ ảnh hữu hạn đều là xạ ảnh. β) Vành A thỏa mãn các điều kiện tương đương của bài tập 21, và với mọi iđêan phải kiểu hữu hạn a phân biệt với A, tồn tại một phần tử khác không $x \neq 0$ của A sao cho $xa = 0$. γ) Vành A thỏa mãn các điều kiện tương đương của bài tập 21, và mọi A-môđun đơn đều là thương của một A-môđun đơn ánh. (Chứng minh rằng α) kéo theo mọi dãy giảm các iđêan phải đơn sinh của A đều dừng bằng cách thích nghi chứng minh của bài tập 21. Suy ra khi đó từ bài tập 22 sự tương đương của α) và β). Để thấy rằng α) kéo theo γ), xét một phủ xạ ảnh P của môđun đơn M, một môđun đơn ánh I chứa P và một phủ xạ ảnh Q của I; định nghĩa một A-đồng cấu từ Q vào P, và suy ra từ đó một toàn ánh từ I lên M. Để chứng minh rằng γ) kéo theo α), chứng minh rằng một A-môđun M sao cho $\mathrm{dp}_A(M) \leq 1$ là xạ ảnh bằng cách xét một phủ xạ ảnh $p : P \to M$ và một toàn ánh từ $\ker p$ lên một môđun đơn.)

24) Ta ký hiệu bởi dhf (A) (tương ứng dif (A), tương ứng tdf (A)) cận trên đúng của các chiều xạ ảnh (tương ứng đơn ánh, tương ứng phẳng) của các A-môđun mà chiều này là hữu hạn. Nếu A có chiều đồng điều hữu hạn, ta có dhf(A) = dif(A) = dh(A) và tdf(A) = td(A). Nếu td(A) < ∞, ta có tdf(A) = td(A). a) Chứng minh rằng ta có tdf (A) ≤ dif (A°) ; có đẳng thức nếu A là Noether trái (dùng X, p. 189, bài tập 3). b) Giả sử A là Noether trái. Chứng minh rằng ta có dhf(A) ≤ di_A(A_s). Nếu di_A(A_s) và dif(A) là hữu hạn, chứng minh rằng chúng bằng nhau (dùng bài tập 2, p. 202). c) Cho G là một nhóm hữu hạn không thu gọn về phần tử đơn vị, và A là vành $\mathbf{Z}^{(G)}$. Chứng minh rằng ta có

(xem bài tập 20, p. 193). d) Giả sử vành A tự nội xạ (xem X, p. 171, bài tập 26), không nửa đơn. Chứng minh rằng mọi A-môđun không xạ ảnh đều có chiều xạ ảnh vô hạn và chiều đơn ánh vô hạn. Suy ra rằng ta có $\mathrm{dh}(A) = + \infty , \mathrm{dhf}(A) = \mathrm{dif}(A) = \mathrm{tdf}(A) = \mathrm{di}_A(A_s) = 0$.

25) Ta ký hiệu bởi $A^e$ đại số trên K $A \otimes_k A^*$, và ta xét A như một $A^e$-môđun trái. Ta đặt

Nếu n là một số nguyên $\geq 0$, bất đẳng thức $\mathrm{da}_k(A) \leq n$ do đó tương đương với sự triệt tiêu của $H^{n+1}(A, M)$ đối với mọi song môđun (A, A) M (X, p. 195, bài tập 26). Ta có $\mathrm{da}_k(A) = \mathrm{da}_k(A^o)$. a) Chứng minh rằng ta có $\mathrm{da}_k(M_n(k)) = 0$ và $\mathrm{da}_k(k[X_1, ..., X_n]) = n$ với mọi $n \geq 0$. b) Nếu k là một trường, ta có $\mathrm{da}_k(A) = 0$ khi và chỉ khi đại số trên K A là nửa đơn tuyệt đối (xem VIII, § 11, no 3, th. 2). c) Cho M là một K-môđun tự do. Chứng minh rằng ta có $\mathrm{da}_k(T_k(M)) = 1$ (nếu $(e_i)_{i \in I}$ là một cơ sở của M, chứng minh rằng các phần tử $(e_i \otimes 1 - 1 \otimes e_i)$ lập thành một cơ sở của iđêan trái của $A^e$ là hạt nhân của phép nhân $A \otimes_k A \to A$, với $A = T_k(M)$). d) Bây giờ giả sử rằng K-môđun A là xạ ảnh. Cho $\rho : k \to k'$ là một đồng cấu của các vành giao hoán; chứng minh rằng ta có $\mathrm{da}_k(A \otimes_k k') \leq \mathrm{da}_k(A)$. Nếu $\rho$ đơn ánh và nếu $\rho(k)$ là một nhân tử trực tiếp của K-môđun $k'$, ta có đẳng thức (dùng X, p. 195, bài tập 26, c)). e) Cho B là một đại số trên K thứ hai (kết hợp và có đơn vị), xạ ảnh trên K. Chứng minh rằng Nếu thêm nữa k là một trường và A và B hữu hạn chiều trên k, có đẳng thức (dùng X, p. 195, bài tập 26, d)). f) Giả sử k là một trường. Chứng minh các bất đẳng thức $\mathrm{dh}(A) \leq \mathrm{da}_k(A)$ và $\mathrm{dh}(A^*) \leq \mathrm{da}_k(A)$ (xem X, p. 196, bài tập 26, e)).

26) Cho A là một đại số trên K có phần tử tăng (X, p. 196, bài tập 27); giả sử tồn tại một đồng cấu $\rho : A \to A^e$ thỏa mãn các điều kiện của X, p. 196, bài tập 27, c). Chứng minh rằng $\mathrm{da}_k(A) = \mathrm{dp}_A(k)$; nếu thêm nữa k là một trường, ta có $\mathrm{da}_k(A) = \mathrm{dp}_A(k) = \mathrm{dh}(A) = \mathrm{dh}(A^*)$. (Dùng bài tập 27, b) và c), p. 196, và bài tập 26, e), p. 196.) Đặc biệt, nếu V là một không gian vectơ trên K khác không, ta có $\mathrm{dh}\ T_k(V) = 1$.

\* 27) Giả sử rằng $k$ là một trường. Cho $g$ là một đại số Lie trên $k$, có chiều $n$, và $U$ là đại số bao phủ của nó. Chứng minh rằng $\mathrm{dh}U = n$. (Dùng bài tập 26, bài tập 27, d), p. 196, và bài tập 28, c), p. 197.) \*

**28) Cho $G$ là một nhóm. Chiều đối đồng điều của $G$, ký hiệu bởi $\mathrm{dc}(G)$, được gọi là chiều xạ ảnh của $\mathbf{Z}^{(G)}$-môđun $\mathbf{Z}$. Nếu $n$ là một số nguyên, do đó ta có $\mathrm{dc}(G) \leq n$ khi và chỉ khi $H^q(G, M) = 0$ đối với mọi $\mathbf{Z}^{(G)}$-môđun $M$ và mọi $q > n$.

a) Chứng minh rằng ta có $\mathrm{da}_\mathbf{Z}(\mathbf{Z}^{(G)}) = \mathrm{dc}(G)$ (sử dụng Bài tập 26 và Bài tập 27, d), p. 196).

b) Nếu $G$ là một nhóm tự do không suy biến thành phần tử đơn vị, ta có $\mathrm{dc}(G) = 1$.

c) Cho $H$ là một nhóm con của $G$; chứng minh bất đẳng thức $\mathrm{dc}(H) \leq \mathrm{dc}(G)$. Nếu $\mathrm{dc}(G) < \infty$ và nếu $H$ có chỉ số hữu hạn trong $G$, chứng minh rằng $\mathrm{dc}(H) = \mathrm{dc}(G)$ (chứng minh rằng với $q = \mathrm{dc}(G)$, đồng cấu

của Bài tập 14, p. 191, là toàn ánh).

d) Chứng minh rằng chiều đối đồng điều của một nhóm hữu hạn không suy biến thành phần tử đơn vị là vô hạn. Suy ra rằng nếu $\mathrm{dc}(G) < \infty$, mọi phần tử của $G$ phân biệt với phần tử đơn vị đều có cấp vô hạn (khi đó người ta nói rằng $G$ là không xoắn).

e) Nếu $G$ là không xoắn và nếu $H$ là một nhóm con có chỉ số hữu hạn của $G$, chứng minh rằng ta có $\mathrm{dc}(H) = \mathrm{dc}(G)$. (Nếu $(P, p)$ là một phân giải xạ ảnh của $\mathbf{Z}^{(H)}$-môđun $\mathbf{Z}$ và nếu $(G : H) = n$, hãy định nghĩa trên $\mathbf{Z}^{(H)}$-môđun phân bậc $T^n_\mathbf{Z}(P)$ một cấu trúc của $\mathbf{Z}^{(G)}$-phức sao cho $(T^n_\mathbf{Z}(P), p^{\otimes n})$ là một phân giải xạ ảnh của $\mathbf{Z}^{(G)}$-môđun $\mathbf{Z}$.)

f) Nếu $H$ là một nhóm con chuẩn tắc của $G$, chứng minh rằng ta có