Exercice 22, § 8

Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes :

$\alpha$) Tout $A$-module de présentation finie et de dimension projective finie est projectif.

$\beta$) Tout $A$-homomorphisme injectif $A^p \to A^q$ admet une rétraction.

$\gamma$) Pour tout idéal à droite de type fini $\mathfrak{a}$ distinct de $A$, il existe un élément $x$ non nul de $A$ tel que $x\mathfrak{a} = 0$.

δ) Tout A-module à droite simple et de présentation finie est isomorphe à un idéal à droite (minimal) de A. (Observer que la condition γ) équivaut à la condition β) dans le cas $p = 1$.)