Bài tập 10, § 9

Cho A là một vành, M là một A-môđun, $x = (x_1, ..., x_n)$ là một dãy các phần tử của A, p là một số nguyên $\leq n$. Ta ký hiệu $x' = (x_1, ..., x_p)$, $x'' = (x_{p+1}, ..., x_n)$ và $M' = M/(x')$ M. a) Cho k, k’ là hai số nguyên sao cho $k \leq k'$. Giả sử rằng dãy x’ là k’-sécante đối với M (Bài tập 9). Chứng minh rằng dãy x là k-sécante đối với M khi và chỉ khi dãy x” là k-sécante đối với M’. b) Chứng minh rằng nếu dãy x là 1-sécante đối với M thì dãy x” là 1-sécante đối với M’. † 11) Cho $A$ là một vành địa phương Noether, m là iđêan cực đại của nó, $k = A/m$. Cho M là một A-môđun khác không kiểu hữu hạn. Ta gọi chiều sâu của M, và ký hiệu là prof (M), cận trên của các số nguyên n sao cho tồn tại một dãy $(x_1, ..., x_n)$ các phần tử của m hoàn toàn sécante đối với M. a) Chứng minh rằng $\operatorname{prof}(M) = 0$ khi và chỉ khi m liên kết với M (X, p. 172, Bài tập 28), nói cách khác, khi M chứa một môđun con đẳng cấu với k (nhận thấy rằng một iđêan được chứa trong một hợp các iđêan nguyên tố tất yếu được chứa trong một trong các iđêan đó).

b) Chứng minh rằng prof (M) là cận dưới lớn nhất của các số nguyên $n$ sao cho $\operatorname{Ext}_A^n(k, M)$ khác không (lập luận bằng quy nạp theo $n$). Nếu $\operatorname{prof}(M) = n$, mọi dãy $(x_1, ..., x_p)$ các phần tử của m hoàn toàn sécante đối với M ($p \leq n$) có thể được mở rộng thành một dãy $(x_1, ..., x_n)$ trong m hoàn toàn sécante đối với M.

c) Nếu $(x_1, ..., x_k)$ là một dãy các phần tử của m hoàn toàn sécante đối với M, chứng minh rằng

d) Giả sử rằng $M$ có chiều xạ ảnh hữu hạn. Chứng minh đẳng thức $\mathrm{dp}_A(M) + \operatorname{prof}(M) = \operatorname{prof}(A)$ (lập luận bằng quy nạp theo $\mathrm{dp}_A(M)$).

e) Chứng minh rằng $\operatorname{prof}(A)$ là cận trên của các chiều xạ ảnh của các A-môđun có kiểu hữu hạn và có chiều xạ ảnh hữu hạn.

†12) Cho $A$ là một vành địa phương Noether, m là iđêan cực đại của nó. a) Chứng minh rằng nếu $0 < \operatorname{dh}(A) < \infty$, tồn tại một phần tử không là ước không trong $m - m^2$ (chỉ ra như trong Bài tập 11, a) rằng nếu không thì m sẽ liên kết với $A$, do đó có một dãy khớp

đi đến một mâu thuẫn bằng cách sử dụng Bài tập 16, p. 203). b) Cho $n$ là một số nguyên. Chứng minh rằng ta có $\operatorname{dh}(A) = n$ khi và chỉ khi tồn tại một dãy $(x_1, ..., x_n)$ hoàn toàn sécante đối với $A$, sinh ra m (lập luận bằng quy nạp theo $n$, sử dụng a) và Bài tập 14, p. 203). Người ta nói rằng một vành địa phương là chính quy nếu nó là Noether và có chiều đồng điều hữu hạn.

13) Cho $A$ là một vành địa phương chính quy (Bài tập 14) có chiều đồng điều $n$; ta ký hiệu m là iđêan cực đại của nó và $k = A/m$. a) Chứng minh rằng có $\dim_k(m/m^2) = n$. b) Chứng minh rằng $k$-đại số $\bigoplus_{r \geq 0} (m^r/m^{r+1})$ đẳng cấu với một đại số các đa thức theo $n$ bất định. c) Nếu $n = 0$, $A$ là một trường. Nếu $n = 1$, chứng minh rằng $A$ là một miền iđêan chính và do đó là một vành định giá rời rạc (chứng minh rằng $A$ là nguyên bằng cách nhận thấy rằng $m \cap m^n = \bigcap m^n$, do đó $\bigcap m^n = 0$). d) Chứng minh rằng vành $A[[T]]$ là chính quy.

14) Cho $A$ là một vành, a là một iđêan của $A$. Xét đại số phản xứng phân bậc $(A/a)$-$\operatorname{Tor}^A(A/a, A/a)$ (cf. X, p. 201, bài tập 9) và đồng cấu của các đại số phân bậc $(A/a)$ $\theta : \Lambda_{A/a}(a/a^2) \to \operatorname{Tor}^A(A/a, A/a)$ suy ra từ đẳng cấu $a/a^2 \to \operatorname{Tor}_1^A(A/a, A/a)$ (X, p. 73). Chứng minh rằng nếu iđêan $a$ được sinh bởi một dãy hoàn toàn ngang đối với A, thì $\theta$ là một đẳng cấu.

15) Cho $A$ là một vành Noether, $a$ là một iđêan được chứa trong căn của $A$. Giả sử rằng $(A/a)$-môđun $a/a^2$ là tự do và đồng cấu $\theta_2 : \Lambda_{A/a}^2(a/a^2) \to \operatorname{Tor}_2^A(A/a, A/a)$ (bài tập 14) là toàn ánh. Chứng minh rằng $a$ được sinh bởi một dãy hoàn toàn ngang trong $A$. (Nếu $x$ là một họ sinh cực tiểu của $a$, hãy chỉ ra với sự trợ giúp của bài tập 7 (hoặc trực tiếp) rằng $\operatorname{Coker}(\theta_2)$ là đẳng cấu với $H_1(x, A) \otimes_A A/a$.)

16) Cho $A$ là một vành địa phương Noether, $m$ là iđêan cực đại của nó, $k = A/m$. Chứng minh rằng đồng cấu của các $k$-đại số phân bậc $\theta : \Lambda_k(m/m^2) \to \operatorname{Tor}^A(k, k)$ là đơn ánh: nếu $\theta_2$ là song ánh, vành $A$ là chính quy (bài tập 12). (Nếu $x$ là một hệ sinh cực tiểu của $m$, hãy chỉ ra rằng phức $K(x, A)$ thỏa mãn các điều kiện của bài tập 14, p. 182; sử dụng các bài tập 4 và 15.)

†17) Cho $A$ là một vành sao cho $A$-môđun $A_s$ có chiều nội xạ hữu hạn (X, p. 202, bài tập 4; một vành địa phương chính quy (bài tập 12) thỏa mãn tính chất này). a) Cho $x$ là một phần tử không phải là ước của không và không khả nghịch trong $A$. Chứng minh rằng ta có

(Gọi $0 \to A \to I^0 \to I^1 \to \cdots$ là một phân giải nội xạ cực tiểu (X, p. 182, bài tập 13) của $A$; chỉ ra rằng phức $\operatorname{Hom}_A(A/Ax, I^1) \to \operatorname{Hom}_A(A/Ax, I^2) \to \cdots$ xác định một phân giải nội xạ cực tiểu của $(A/Ax)$-môđun $A/Ax$.) b) Bây giờ giả sử rằng vành $A$ là địa phương Noether. Chứng minh đẳng thức $\operatorname{di}(A) = \operatorname{prof}(A)$ (bài tập 11; lập luận bằng quy nạp theo $\operatorname{di}(A)$). c) Cho $(x_1, ..., x_n)$ là một dãy hoàn toàn ngang đối với $A$, được chứa trong iđêan cực đại của $A$, với $n = \operatorname{di}(A)$. Chứng minh rằng vành $A$ là tự nội xạ (X, p. 171, bài tập 26).

Cho $A$ là một vành Noether, $\mathscr{C}$ là một tập hợp ổn định các lớp của các $A$-môđun (X, p. 40), $x = (x_1, ..., x_n)$ là một dãy các phần tử của $A$, $x$ là iđêan sinh bởi $x$. Ta ký hiệu bởi $\mathscr{C}_x$ tập hợp các phần tử của $\mathscr{C}$ bị triệt tiêu bởi $x$. Cho $M$ là một $A$-môđun sinh hữu hạn. a) Bài tập chứng minh rằng với mọi $i \geqslant 0$, tồn tại một phần tử $M_i$ của $\mathscr{C}_x$ sao cho

trong $K(\mathscr{C}_x)$ (lập luận bằng quy nạp theo $n$, sử dụng Mệnh đề 4, p. 157; trong trường hợp $n = 1$, xét các lũy thừa liên tiếp của tự đồng cấu $(x_1)_M$). b) Giả sử rằng $A/x$ có độ dài hữu hạn. Chứng minh rằng tồn tại các số nguyên dương $m_i$ ($i \geqslant 0$) sao cho $\operatorname{long} H_i(x, M) = m_i + m_{i+1}$.

Chỉ mục ký hiệu

$(C,d)$ : p. 23.

$C_n, C^\circ$ : p. 24.

$Z(C,d), Z_n(C,d), B(C,d), B_n(C,d), H(C),$ $H_n(C,d), H^n(C,d)$ : p. 25.

$H(u), Z(u), B(u)$ : p. 26.

$C(p)$ : p. 26.

$A(\mathscr{E})$ : p. 27.

$\hat{\partial}_{u,v}, \hat{\partial}$ : p. 29.

$\operatorname{Con}(u), \operatorname{Cyl}(u)$ : p. 36.

$K(\mathscr{E}), [M]_{\mathscr{E}}, [M]$ : p. 40.

$\chi_p(M), \chi(M)$ : p. 41.

$\Omega^p_{A/k}$ : p. 43.

$\nabla$ : p. 45.

$L(M), L(f)$ : p. 50.

$I(M), I(f)$ : p. 52.

$B(A,M)$ : p. 57.

$C \otimes_A C'$ : p. 61.

$\gamma(C,C') : H(C)\otimes_A H(C') \to H(C\otimes_A C')$ : p. 62.

$\sigma(C,C')$ : p. 62.

$\operatorname{Tor}^A_n(M,N)$ : p. 67.

$\operatorname{Tor}^A(f,g)$ : p. 68.

$\psi_M(N), \psi_N(M)$ : p. 69.

$\sigma_{M,N}$ : p. 71.

$\operatorname{Homgr}_A(C,C')$ : p. 81.

$\lambda(C,C')$ : p. 82.

$\operatorname{Ext}^A(M,N), \operatorname{Ext}_A(M,N)$ : p. 86.

$\varphi_M(N), \varphi_N(M)$ : p. 88.

$\delta(M,\mathscr{E})$ : p. 90.

$\delta(\mathscr{F},N)$ : p. 92.

$\psi(S,R), \varphi(R,E)$ : p. 100.

$\psi'(S,R), \varphi'(R,E_1)$ : p. 102.

$H^n(G,M), H_n(G,M)$ : p. 111.

$a_{M,N}$ : p. 113.

$c_{M,N}, u \circ v$ : p. 114.

$\partial^m(P,\mathscr{P}), \partial^m(\mathscr{P},P), \partial^m(P,\mathscr{J}), \partial^m(\mathscr{J},M)$ : 127, 131, 132.

$c_{P,Q;M}$ : p. 128.

I can translate it, but the passage is too long to fit in a single response at the required level of exactness (preserving every paragraph, citation, and math span). Please send it in smaller consecutive chunks, and I will return only the Vietnamese translation of each chunk with no commentary.

§ 1. Bổ sung của đại số tuyến tính ............................................. X.1 1. Các biểu đồ giao hoán .................................................. X.1 2. Biểu đồ rắn .............................................................. X.3 3. Các môđun phẳng ........................................................ X.8 4. Các môđun có biểu diễn hữu hạn ....................................... X.10 5. Các đồng cấu của một môđun có biểu diễn hữu hạn ............ X.12 6. Cấu trúc của các môđun phẳng ....................................... X.12 7. Các môđun đơn ánh ....................................................... X.19 8. Các môđun sinh đối đơn ánh ........................................ X.20 9. Bao đơn ánh .............................................................. X.21 10. Cấu trúc của các môđun đơn ánh .................................... X.22

§ 2. Các phức của A-môđun .................................................. X.23 1. Các phức của A-môđun ............................................. X.23 2. Các phép toán trên các phức ........................................ X.27 3. Đồng cấu nối và dãy khớp đồng điều .............................. X.29 4. Các phép đồng luân ..................................................... X.32 5. Các phức tách ............................................................ X.34 6. Nón và hình trụ của một cấu xạ của các phức ................ X.36 7. Nón của một cấu xạ đơn ánh; định nghĩa mới của đồng cấu nối ............................................. X.39 8. Các đặc trưng Euler-Poincaré .................................... X.40 9. Các phức của môđun phải, các phức của đa môđun .... X.43 10. Ví dụ: phức de Rham ................................................. X.43

§ 3. Các giải ................................................................ X.46 1. Mở rộng các cấu xạ của các phức ............................... X.46 2. Các giải ................................................................ X.48 3. Giải tự do chính tắc .................................................. X.50 4. Giải đơn ánh chính tắc ............................................... X.52 5. Các giải kiểu hữu hạn ................................................ X.53 6. Các giải xạ ảnh cực tiểu ............................................. X.54 7. Các giải phân bậc ...................................................... X.56 8. Giải chuẩn ............................................................... X.57 9. Các giải và các nhóm Grothendieck ............................ X.58

§ 4. Các tích xoắn .......................................................... X.61 1. Tích tenxơ của hai phức ............................................. X.61 2. Các tích tenxơ và đồng luân ....................................... X.64 3. Tích tenxơ bởi một phức phẳng bị chặn phải ................ X.66 4. Định nghĩa và các tính chất đầu tiên của tích xoắn ..... X.67 5. Các đồng cấu nối và các dãy khớp .............................. X.71 6. Các môđun phẳng và các tích xoắn .............................. X.74 7. Công thức Künneth ................................................... X.76 8. Các phức phẳng bị chặn trên một vành Noether ............ X.79 9. Phép tổng quát hóa cho các phức của đa môđun .......... X.80

§ 5. Các môđun mở rộng .................................................... X.81 1. Các phức của các đồng cấu ....................................... X.81 2. Các phức của các đồng cấu và các phép đồng luân ....... X.83 3. Định nghĩa và các tính chất đầu tiên của các môđun mở rộng ................................... X.86 4. Các đồng cấu nối và các dãy khớp .............................. X.89 5. Các môđun xạ ảnh, các môđun đơn ánh và các môđun mở rộng. X.93 6. Công thức hệ số phổ quát .......................................... X.94 7. Phép tổng quát hóa cho các phức của đa môđun; các đẳng cấu chính tắc ............................................. X.98

§ 6. Sử dụng các giải không chính tắc ................................. X.100 1. Tính toán các môđun Tor^A(P, M) và Ext_A(M, N) ... X.100 2. Tính toán các ánh xạ Tor^A(g, f) và Ext_A(f, h) ... X.103 3. Tính toán các đồng cấu nối ....................................... X.104 4. Tính hữu hạn của các môđun mở rộng và xoắn ............ X.107 5. Các đồng cấu Tor^B(P, N) ⊗_A Q → Tor^B(P, N ⊗_A Q) và Ext_B(M, N) ⊗_A Q → Ext_B(M, N ⊗_A Q) .................. X.108 6. Các đồng cấu Tor^B(P, N ⊗_A Q) → Tor^A(P ⊗_B N, Q) và Ext_A(Q, Hom_B(N, M)) → Ext_B(N ⊗_A Q, M) ............... X.109 7. Các đồng cấu B ⊗_A Tor^A(E, F) → Tor^B(E ⊗_A B, B ⊗_A F) và B ⊗_A Ext_A(E, F) → Ext_B(B ⊗_A E, B ⊗_A F) ... X.110 8. Ứng dụng: đồng điều và đối đồng điều của các nhóm .......... X.111

§ 7. Tích hợp thành .............................................. X.113 1. Đồng cấu Ext_A(N, P) ⊗ Ext_A(M, N) → Ext_A(M, P) X.113 2. Bảy phép tính của tích hợp thành ................................ X.115 3. Lớp liên kết với một dãy khớp ................................. X.116 4. Các tính chất của lớp liên kết với một dãy khớp ........ X.118 5. Quan hệ giữa các dãy khớp và các phần tử của Ext_A(M, N) ... X.121 6. Tích hợp thành và các đồng cấu nối của các môđun mở rộng ............................................. X.125 7. Đồng cấu Ext_A(P, Q) ⊗ Tor^A(P, M) → Tor^A(Q, M) X.128

8. Các tích hợp thành và các đồng cấu nối của các tích xoắn ... X.130 9. Tính toán các tích hợp thành bằng phép dịch chuyển các phân giải ... X.132 § 8. Chiều đồng điều ...................................... X.134 1. Chiều xạ ảnh của một môđun ......................... X.134 2. Đồng cấu TorⁿA(P, M) → HomA(ExtⁿA(M, A), P).... X.137 3. Chiều đồng điều của một vành ........................ X.138 4. Các vành có chiều đồng điều 0 ....................... X.140 5. Các vành có chiều đồng điều 1 ....................... X.140 6. Chiều đồng điều của các vành đa thức ............... X.141 7. Chiều đồng điều của các môđun phân bậc ............. X.143 § 9. Các phức Koszul ...................................... X.147 1. Các phức K(u), K.(u, C), K⁻(u, C) ................. X.147 2. Tính hàm tử ........................................ X.150 3. Ví dụ 1: phức S(L) ⊗A Λ(L) ........................ X.151 4. Ví dụ 2: trường hợp một môđun tự do ............... X.153 5. Ví dụ 3: trường hợp L = A .......................... X.156 6. Các họ cắt hoàn toàn ............................... X.157 7. Một tiêu chuẩn cho các dãy cắt hoàn toàn ........... X.159 8. Chứng minh Định lý 1: phần thứ nhất ............... X.161 9. Chứng minh Định lý 1: phần thứ hai ................ X.163 10. Lớp các mở rộng liên kết với một dãy chính quy .... X.165 Các Bài tập của § 1 ......................................... X.168 Các Bài tập của § 2 ......................................... X.173 Các Bài tập của § 3 ......................................... X.178 Các Bài tập của § 4 ......................................... X.184 Các Bài tập của § 5 ......................................... X.187 Các Bài tập của § 6 ......................................... X.189 Các Bài tập của § 7 ......................................... X.197 Các Bài tập của § 8 ......................................... X.202 Các Bài tập của § 9 ......................................... X.206 Chỉ mục các ký hiệu ......................................... X.210 Chỉ mục thuật ngữ .......................................... X.211