Bài tập 21, § 1

(a) Cho E là một không gian vectơ, $E^*$ là đối ngẫu đại số của nó. Chứng minh rằng tôpô $\tau(E, E^*)$ là tôpô lồi địa phương mịn nhất và rằng tôpô $\tau(E^*, E)$ trùng với $\sigma(E^*, E)$. (b) Cho $E^{**}$ là đối ngẫu đại số của $E^*$. Chứng minh rằng nếu E là vô hạn chiều, thì E là trù mật trong $E^{**}$ đối với mọi tôpô tương thích với đối ngẫu giữa $E^{**}$ và $E^*$, nhưng tôpô cảm sinh trên E bởi $\tau(E^{**}, E^*)$ là phân biệt với $\tau(E, E^*)$.