Bài tập 12, § 4

Cho $E$ là một không gian Hilbert thực, $V$ là một nón lồi đóng trong $E$, có đỉnh 0, $V^\circ$ là nón đối cực của $V$ (trong $E$, được đồng nhất một cách chính tắc với đối ngẫu của nó). a) Bây giờ chứng minh rằng mọi điểm $x \in E$ có thể được viết một cách duy nhất dưới dạng $x = x_+ - x_-$ trong đó $x_+ \in V$ và $x_- \in V^\circ$, và $\langle x_+|x_- \rangle = 0$. b) Với mọi mặt $F$ của $V$ (II, p. 92, exerc. 3), $F$ suy biến thành 0 hoặc là một nón lồi có đỉnh 0; tập hợp các $y \in V^\circ$ trực giao với $F$ là một mặt đóng $F'$ của $V^\circ$ (nhưng nó không phải là “mặt đối ngẫu” của $F$ theo nghĩa của II, p. 93, exerc. 6, mặt sau là rỗng). c) Lấy $E$ là tập hợp các tự đồng cấu Hilbert-Schmidt của một không gian Hilbert thực $H$, và lấy $V$ là tập hợp các phần tử dương của $E$. Bây giờ chứng minh rằng $V^\circ = V$ và giải thích trong trường hợp này kết quả của a) (dùng cor. 1 của V, p. 56 để thấy rằng $V \subset V^\circ$). d) Với các giả thiết là những giả thiết của c), cho $v \in V$; tập hợp $L$ gồm các $x \in H$ sao cho $\langle v(x)|x \rangle = 0$ hoặc, tương đương, $v(x) = 0$ (V, p. 76, exerc. 10) là một không gian con vectơ đóng của $H$, và mặt $F$ của $v$ trong $V$ là tập hợp đóng gồm các $u \in V$ sao cho $u(x) = 0$ với mọi $x \in L$; nó được đồng nhất với nón các tự đồng cấu Hilbert-Schmidt dương của không gian Hilbert $L^\circ$. Suy ra rằng phép chiếu của $E$ lên tập lồi $F$ (V, p. 11) là đồng nhất với phép chiếu trực giao của $E$ lên không gian con vectơ đóng của $E$ sinh bởi $F$.