Bài tập 12, § 4

Cho $f$ là một hàm số thực liên tục trong một khoảng mở $I \subset \mathbf{R}$; giả sử rằng, đối với mọi cặp $(a, b)$ các điểm của $I$ sao cho $a < b$, đồ thị của $f$ hoặc hoàn toàn nằm phía trên hoặc hoàn toàn nằm phía dưới đoạn thẳng $M_aM_b$ trong khoảng $[a, b]$. Chứng minh rằng $f$ là lồi trên toàn bộ $I$ hoặc lõm trên toàn bộ $I$ (nếu, trong $]a, b[$, tồn tại một điểm $c$ sao cho $M_c$ nằm nghiêm ngặt phía trên đoạn thẳng $M_aM_b$, chứng minh rằng với mọi $x \in I$ sao cho $x > a$, đồ thị của $f$ nằm phía trên đoạn thẳng $M_aM_x$ trong khoảng $[a, x]$).