Bài tập 3, § 3

Cho $f(x, \alpha) = 1/\sqrt{1 - 2\alpha x + \alpha^2}$ với $-1 < x < +1$ và $\alpha \in \mathbf{R}$; chứng minh rằng hàm $g(\alpha) = \int_{-1}^{+1} dx/\sqrt{1 - 2\alpha x + \alpha^2}$ liên tục trên $\mathbf{R}$, nhưng không có đạo hàm tại $\alpha = 1$ và $\alpha = -1$; chứng minh rằng $f'_\alpha(x, \alpha)$ tồn tại với mọi $\alpha \in \mathbf{R}$ và với $x \in I = ]-1, +1[$, và liên tục trên $I \times \mathbf{R}$, và rằng tích phân $\int_{-1}^{+1} f'_\alpha(x, \alpha)\,dx$ tồn tại với mọi $\alpha \in \mathbf{R}$, nhưng kiểm tra rằng tích phân này không hội tụ đều trên một lân cận của điểm $\alpha = 1$ hoặc của điểm $\alpha = -1$.