Exercice 3, § 3

Soit $f(x, \alpha) = 1/\sqrt{1-2ax+\alpha^2}$ pour $-1 < x < 1$ et $\alpha \in \mathbf{R}$; montrer que la fonction $g(\alpha) = \int_{-1}^1 dx/\sqrt{1-2ax+\alpha^2}$ est continue dans $\mathbf{R}$, mais n’admet pas de dérivée pour $\alpha = 1$ et $\alpha = -1$; montrer que $f'_x(x, \alpha)$ existe pour tout $\alpha \in \mathbf{R}$ et pour $x \in I = ]-1, +1[$, et est continue dans $I \times \mathbf{R}$, que l’intégrale $\int_{-1}^1 f'_x(x, \alpha) \, dx$ existe pour tout $\alpha \in \mathbf{R}$, mais vérifier que cette intégrale n’est pas uniformément convergente dans un voisinage du point $\alpha = 1$ ou du point $\alpha = -1$.