Bài tập 4, § 3

Cho $I$ là một khoảng của $\mathbf{R}$, $A$ là một lân cận của một điểm $\alpha_0$ trong trường $\mathbf{R}$ (tương ứng trường $\mathbf{C}$), và $f$ là một ánh xạ liên tục của $I \times A$ vào một không gian định chuẩn đầy đủ $E$ trên $\mathbf{R}$, sao cho $f'_\alpha(x, \alpha)$ tồn tại và liên tục trên $I \times A$. Cho $a(\alpha)$, $b(\alpha)$ là hai hàm liên tục xác định trên $A$, có các giá trị trong $I$, sao cho đồng nhất ta có $f(a(\alpha), \alpha) = f(b(\alpha), \alpha) = 0$ trên $A$. Chứng minh rằng hàm $g(\alpha) = \int_{a(\alpha)}^{b(\alpha)} f(t, \alpha)\,dt$ có đạo hàm bằng $\int_{a(\alpha_0)}^{b(\alpha_0)} f'_\alpha(t, \alpha_0)\,dt$ tại điểm $\alpha_0$, ngay cả khi $a$ và $b$ không khả vi tại điểm $\alpha_0$ (gọi $M$ là cận trên của $\|f'_\alpha(x, \alpha)\|$ trên một lân cận compact của $(b(\alpha_0), \alpha_0)$; chú ý, áp dụng định lý Bolzano cho $b(\alpha)$, rằng với mọi $x$ thuộc khoảng có hai đầu mút là $b(\alpha_0)$ và $b(\alpha)$, ta có, với $\alpha$ đủ gần $\alpha_0$, $\|f(x, \alpha)\| \leq M |\alpha - \alpha_0|$).