Exercice 4, § 3

Soit I un intervalle dans $\mathbf{R}$, A un voisinage d’un point $\alpha_0$ dans le corps $\mathbf{R}$ (resp. le corps $\mathbf{C}$), $f$ une application continue de $I \times A$ dans un espace normé complet E sur $\mathbf{R}$, telle que $f'_x(x, \alpha)$ existe et soit continue dans $I \times A$. Soient $a(\alpha), b(\alpha)$ deux fonctions définies et continues dans A, à valeurs dans I, telles qu’on ait identiquement $f(a(\alpha), \alpha) = f(b(\alpha), \alpha) = 0$ dans A. Montrer que la fonction $g(\alpha) = \int_{a(\alpha)}^{b(\alpha)} f(t, \alpha) \, dt$ admet au point $\alpha_0$ une dérivée égale à $\int_{a(\alpha_0)}^{b(\alpha_0)} f'_\alpha(t, x_0) \, dt$, même si $a$ et $b$ ne sont pas dérivables au point $x_0$ (soit $M$ la borne supérieure de $\|f'_\alpha(x, \alpha)\|$ dans un voisinage compact de $(b(x_0), x_0)$; remarquer, à l’aide du th. de Bolzano appliqué à $b(\alpha)$, que pour tout point $x$ appartenant à l’intervalle d’extrémités $b(x_0)$ et $b(\alpha)$, on a, lorsque $\alpha$ est assez voisin de $x_0$, $\|f(x, \alpha)\| \leq M|x - x_0|$.