Bài tập 6, § 3

Cho $I = [a, b]$, $A = [c, d]$ là hai đoạn compact trên $\mathbf{R}$; cho $f$ là một hàm xác định trên $I \times A$, có giá trị trong một không gian định chuẩn đầy đủ $E$ trên $\mathbf{R}$, sao cho với mọi $\alpha \in A$, ánh xạ $t \mapsto f(t, \alpha)$ là điều chỉnh trên $I$, rằng $f$ bị chặn trên $I \times A$, và rằng tập hợp $D$ các điểm gián đoạn của $f$ trong $I \times A$ được gặp tại một số hữu hạn điểm bởi mỗi đường thẳng $x = x_0$ và mỗi đường thẳng $\alpha = \alpha_0$ ($x_0 \in I, \alpha_0 \in A$).

a) Chứng minh rằng hàm $g(\alpha) = \int_a^b f(t, \alpha)\,dt$ là liên tục trên $A$ (cho $\alpha_0 \in A$ và $\varepsilon > 0$, chứng minh rằng có một lân cận $V$ của $\alpha_0$ và một số hữu hạn các đoạn $J_k$ được chứa trong $I$ với tổng các độ dài của chúng $\leq \varepsilon$, sao cho, nếu $J$ ký hiệu phần bù trong $I$ của $\bigcup_k J_k$, thì $f$ liên tục trên $J \times V$).

b) Chứng minh rằng công thức đổi chỗ thứ tự lấy tích phân (II, p. 77, công thức (15)) vẫn còn đúng (cùng phương pháp như trong $a$) ).