Exercice 6, § 3

Soient $I = (a, b)$, $A = (c, d)$ deux intervalles compacts dans $\mathbf{R}$; soit $\mathbf{f}$ une fonction définie dans $I \times A$, à valeurs dans un espace normé complet $E$ sur $\mathbf{R}$, telle que pour tout $\alpha \in A$, $t \mapsto \mathbf{f}(t, \alpha)$ soit réglée dans $I$, que $\mathbf{f}$ soit bornée dans $I \times A$, et que l’ensemble $D$ des points de discontinuité de $\mathbf{f}$ dans $I \times A$ soit rencontré en un nombre fini de points par toute droite $x = x_0$ et toute droite $\alpha = \alpha_0$ ($x_0 \in I, \alpha_0 \in A$).

a) Montrer que la fonction $g(\alpha) = \int_a^b \mathbf{f}(t, \alpha) \, dt$ est continue dans $A$ (étant donnés $x_0 \in A$ et $\varepsilon > 0$, montrer qu’il existe un voisinage $V$ de $x_0$ et un nombre fini d’intervalles $J_k$ contenus dans $I$ et dont la somme des longueurs est $\leq \varepsilon$, tels que, si $J$ désigne le complémentaire par rapport à $I$ de $\bigcup_k J_k$, $\mathbf{f}$ soit continue dans $J \times V$).

b) Montrer que la formule d’interversion des intégrations (II, p. 27, formule (15)) est encore valable (même méthode que dans a)).