Bài tập 6, § 3

đối với trường hợp hiện tại, và khảo sát riêng trường hợp $p = 1$ (ta sẽ định nghĩa tích phân của một hàm $f \in \mathscr{L}^1$).

c) Một tập con $A$ của $E$ được gọi là $m$-nguyên nếu $\varphi_A \in \mathscr{L}^1$. Chứng minh rằng khi đó tồn tại một tập hợp $A' \in \mathscr{T}$ sao cho $m^*(A \cap \complement A') = m^*(A' \cap \complement A) = 0$. Đảo lại, trong trường hợp $m(E)$ là hữu hạn.

¶ 6) Cho $E$ là một tập hợp, $\mathscr{T}$ là một họ các tập con của $E$, và $m$ là một độ đo trừu tượng trên $(E, \mathscr{T})$. Giả sử rằng $m(E)$ là hữu hạn và rằng, với mọi $B \in \mathscr{T}$ sao cho $m(B) > 0$, tồn tại một tập hợp $A \in \mathscr{T}$ sao cho $A \subset B$ và $0 < m(A) < m(B)$. Với mọi $B \in \mathscr{T}$ và mọi số $t$ sao cho $0 \leq t \leq m(B)$, tồn tại một tập hợp $A \in \mathscr{T}$ sao cho $m(A) = t$ và $A \subset B$.