Bài tập 28, § 5

Cho X là một không gian compact địa phương, $\Lambda : t \mapsto \lambda_t$ là một ánh xạ $\mu$-thích hợp từ T vào $\mathscr{M}_+(X)$. Cho $\mu' = g \cdot \mu$ là một độ đo dương có cơ sở $\mu$, sao cho $\Lambda$ khả tích $\mu'$-địa phương theo vô hướng một cách bản chất.

a) Chứng minh rằng $\Lambda$ là $\mu'$-khả tích (sử dụng Bài tập 27 b), hoặc quan hệ $\mu' = \sup_n (\inf(\mu', n\mu))$ và Bài tập 9 của §3).

b) Chứng minh rằng $\nu' = \int \lambda_t \, d\mu'(t)$ là một độ đo có cơ sở $\nu = \int \lambda_t \, d\mu(t)$.

c) Chứng minh rằng ánh xạ $t \mapsto g(t)\lambda_t$ là $\mu$-thích hợp, và tích phân của nó là $\nu'$.