Bài tập 24, § 1

a) Trong $\mathbf{R}$, cho $A$ (tương ứng $B$) là tập hợp các số $x$ mà khai triển nhị phân thực sự $x = x_0 + \sum_{i=1}^\infty x_i 2^{-i}$ ($x_0$ số nguyên, $x_i = 0$ hoặc $x_i = 1$ với $i \geq 1$) có tính chất là $x_i = 0$ với $i$ chẵn $> 0$ (tương ứng $i$ lẻ). Chứng minh rằng, đối với độ đo Lebesgue, $A$ và $B$ có độ đo không, nhưng $A + B = \mathbf{R}$.

b) Suy ra từ a) rằng tồn tại một cơ sở $H$ của $\mathbf{R}$ (trên $\mathbf{Q}$) được chứa trong $A \cup B$, do đó có độ đo không. Tập hợp $P_1$ gồm các số $rh$, trong đó $r \in \mathbf{Q}$ và $h \in H$, cũng có độ đo không.

c) Gọi $P_n$ là tập hợp các số thực mà có nhiều nhất $n$ tọa độ đối với cơ sở $H$ khác không. Chứng minh rằng nếu $P_n$ không đáng kể và nếu $P_{n+1}$ đo được, thì $P_{n+1}$ không đáng kể. (Cho $h_0 \in H$; trước hết chứng minh rằng tập hợp $S$ gồm các $x \in P_{n+1}$ mà tọa độ của chúng đối với $h_0$ là $\neq 0$, là không đáng kể. Dùng Bài tập 20, chứng minh rằng, nếu $P_{n+1}$ không không đáng kể, thì tồn tại hai điểm phân biệt $x', x''$ của $P_{n+1} \cap \mathbf{C} S$ sao cho $(x' - x'')/h_0$ là hữu tỉ, và suy ra một mâu thuẫn).

d) Suy ra từ a) và b) rằng tồn tại trong $\mathbf{R}$ hai tập hợp không đáng kể C, D sao cho C + D không đo được.