Exercice 24, § 1

a) Dans $\mathbf{R}$, soit $A$ (resp. $B$) l’ensemble des nombres $x$ dont le développement dyadique propre $x = x_0 + \sum_{i=1}^\infty x_i 2^{-i}$ ($x_0$ entier, $x_i = 0$ ou $x_i = 1$ pour $i \geq 1$) est tel que $x_i = 0$ pour $i$ pair $> 0$ (resp. $i$ impair). Montrer que, pour la mesure de Lebesgue, $A$ et $B$ sont de mesure nulle, mais $A + B = \mathbf{R}$.

b) Déduire de a) qu’il existe une base $H$ de $\mathbf{R}$ (sur $\mathbf{Q}$) contenue dans $A \cup B$, donc de mesure nulle. L’ensemble $P_1$ des nombres $rh$, où $r \in \mathbf{Q}$ et $h \in H$, est aussi de mesure nulle.

c) On désigne par $P_n$ l’ensemble des nombres réels dont au plus $n$ coordonnées relatives à la base $H$ sont non nulles. Montrer que si $P_n$ est négligeable et si $P_{n+1}$ est mesurable, alors $P_{n+1}$ est négligeable. (Soit $h_0 \in H$; montrer d’abord que l’ensemble $S$ des $x \in P_{n+1}$ dont la coordonnée relative à $h_0$ est $\neq 0$, est négligeable. Utilisant l’exerc. 20, montrer que, si $P_{n+1}$ n’était pas négligeable, il existerait deux points distincts $x', x''$ de $P_{n+1} \cap \mathbf{C} S$ tels que $(x' - x'')/h_0$ soit rationnel, et en déduire une contradiction).

d) Déduire de a) et b) qu’il existe dans $\mathbf{R}$ deux ensembles négligeables C, D tels que C + D ne soit pas mesurable.