Bài tập 29, § 1

a) Cho $p$ là một số nguyên tố; tồn tại hai số nguyên $a, b$ sao cho $a^2 + b^2 + 1 \equiv 0$ (mod. $p$) (Alg., chap. V, § 11, No. 5, hệ quả của định lý 3). Bây giờ chứng minh rằng tồn tại các số nguyên $x_1, x_2, x_3, x_4$ không đồng thời bằng không sao cho $ax_1 + bx_2 \equiv x_3$ (mod. $p$), $bx_1 - ax_2 \equiv x_4$ (mod. $p$) và

(cùng phương pháp như trong Bài tập 28 c)). Bây giờ chứng minh rằng $y$ chia hết cho $p$, và suy ra rằng $y = p$.

b) Suy ra từ a) rằng mọi số nguyên $n \geq 0$ là tổng của nhiều nhất bốn bình phương (định lý Lagrange) ; sử dụng Alg., chap. IV, § 2, Bài tập 11).