Exercice 29, § 1

a) Soient $p$ un nombre premier ; il existe deux entiers $a, b$ tels que $a^2 + b^2 + 1 \equiv 0$ (mod. $p$) (Alg., chap. V, § 11, n° 5, cor. du th. 3). Montrer qu’il existe des entiers $x_1, x_2, x_3, x_4$ non tous nuls tels que $ax_1 + bx_2 \equiv x_3$ (mod. $p$), $bx_1 - ax_2 \equiv x_4$ (mod. $p$) et

(même méthode que dans l’exerc. 28 c)). Montrer que $y$ est divisible par $p$, et en déduire que $y = p$.

b) Déduire de a) que tout entier $n \geq 0$ est somme de quatre carrés au plus (théorème de Lagrange) ; utiliser Alg., chap. IV, § 2, exerc. 11).