Bài tập 10, § 3

Đối với một không gian địa phương compact T, người ta ký hiệu bởi $\mathscr{C}^\infty(T)$ không gian Banach của các hàm số liên tục bị chặn trên T. Một tập con H của $\mathscr{M}^1(T)$ được gọi là gọn nếu, với mọi $\varepsilon > 0$, tồn tại một tập con compact K của T sao cho $|\mu|(T - K) \leq \varepsilon$ với mọi $\mu \in H$.

a) Chứng minh rằng nếu một tập con H của $\mathscr{M}^1(G)$ là gọn và bị chặn đối với tôpô được xác định bởi chuẩn của $\mathscr{M}^1(T)$, thì nó tương đối compact đối với tôpô $\sigma(\mathscr{M}^1(T), \mathscr{C}^\infty(T))$ (nhận xét rằng H tương đối compact đối với $\sigma(\mathscr{M}^1(T), \mathscr{K}(T))$).

b) Giả sử thêm rằng T là paracompact, chứng minh rằng, ngược lại, nếu H là một tập con của $\mathscr{M}^1(T)$ tương đối compact đối với $\sigma(\mathscr{M}^1(T), \mathscr{C}^\infty(T))$, thì H bị chặn đối với chuẩn của $\mathscr{M}^1(T)$ và là gọn. (Trước hết xét trường hợp $T = \mathbf{N}$, áp dụng Bài tập 15 của Ch. V, §5. Sau đó xét trường hợp T đếm được tại vô hạn, là hợp của một dãy $(U_n)$ các tập mở tương đối compact sao cho $\overline{U}_n \subset U_{n+1}$. Lập luận bằng phản chứng, chứng minh rằng ta có thể rút gọn về trường hợp tồn tại, với mỗi n, một hàm số liên tục $f_n$ xác định trên T, có giá chứa trong $U_{n+1} - \overline{U}_n$, sao cho $\|f_n\| \leq 1$, và một dãy $(\mu_n)$ các độ đo thuộc H mà $\mu_n(f_n) \geq a > 0$ với mọi n. Khi đó xét ánh xạ liên tục $u : L^1(\mathbf{N}) \to \mathscr{C}^\infty(T)$ sao cho $u((\xi_n)) = \sum_{n=0}^\infty \xi_n f_n$ và thu được một mâu thuẫn với điều đã chứng minh đối với $T = \mathbf{N}$, bằng cách xét ánh xạ chuyển vị của u. Cuối cùng, khi T là một không gian địa phương compact paracompact tùy ý, T là tổng tôpô của một họ $(T_\alpha)$ các không gian địa phương compact đếm được tại vô hạn; với mỗi $\alpha$, đặt $m_\alpha = \sup_{\mu \in H} |\mu|(T_\alpha)$; chứng minh, bằng cách lập luận phản chứng và sử dụng trường hợp trước, rằng tất yếu $m_\alpha = 0$ ngoại trừ một số đếm được các chỉ số $\alpha$.)

c) Chứng minh rằng kết luận của b) không còn đúng đối với không gian địa phương compact không paracompact được xác định trong Bài tập 16 h) của Ch. IV, §4.