Exercice 10, § 3

Pour un espace localement compact $T$, on note $\mathscr{C}^\infty(T)$ l’espace de Banach des fonctions numériques continues et bornées dans $T$. On dit qu’une partie $H$ de $\mathscr{M}^1(T)$ est serrée si, pour tout $\varepsilon > 0$, il existe une partie compacte $K$ de $T$ telle que $|\mu|(T - K) \leq \varepsilon$ pour tout $\mu \in H$.

a) Montrer que si une partie $H$ de $\mathscr{M}^1(T)$ est serrée et bornée pour la topologie définie par la norme de $\mathscr{M}^1(T)$, elle est relativement compacte pour la topologie $\sigma(\mathscr{M}^1(T), \mathscr{C}^\infty(T))$ (observer que $H$ est relativement compacte pour $\sigma(\mathscr{M}^1(T), \mathscr{K}(T))$).

b) On suppose en outre que $T$ soit paracompact. Montrer alors que, réciproquement, si $H$ est une partie de $\mathscr{M}^1(T)$, relativement compacte pour $\sigma(\mathscr{M}^1(T), \mathscr{C}^\infty(T))$, alors $H$ est bornée pour la norme de $\mathscr{M}^1(T)$ et serrée. (Considérer d’abord le cas où $T = \mathbf{N}$ et appliquer alors l’exerc. 17 du chap. V, § 5. Envisager ensuite le cas où $T$ est dénombrable à l’infini, réunion d’une suite d’ouverts relativement compacts $(U_n)$ telle que $\overline{U_n} \subset U_{n+1}$. Raisonner par l’absurde et montrer qu’on peut se ramener au cas où il existerait pour chaque $n$ une fonction numérique continue $f_n$ définie dans $T$, de support contenu dans $U_{n+1} - \overline{U_n}$, telle que $\|f_n\| \leq 1$, et une suite $(\mu_n)$ de mesures appartenant à $H$ et pour lesquelles on a $\mu_n(f_n) \geq \alpha > 0$ pour tout $n$. Considérer alors l’application continue $u : L^1(\mathbf{N}) \to C^\infty(T)$ telle que $u((\xi_n)) = \sum_{n=0}^\infty \xi_n f_n$ et obtenir une contradiction avec ce qui a été prouvé pour $T = \mathbf{N}$, en considérant la transposée de $u$. Enfin, lorsque $T$ est un espace localement compact paracompact quelconque, $T$ est somme topologique d’une famille $(T_\alpha)$ d’espaces localement compacts dénombrables à l’infini ; pour tout $\alpha$, soit $m_\alpha = \sup_{\mu \in \mathbf{H}} |\mu|(T_\alpha)$; montrer, en raisonnant par l’absurde et utilisant le cas précédent, que l’on a nécessairement $m_\alpha = 0$ sauf pour une infinité dénombrable d’indices $\alpha$.)

c) Montrer que la conclusion de b) n’est pas valable pour l’espace localement compact non paracompact défini dans l’exerc. 18 h) du chap. IV, § 4.