Bài tập 12, § 3

. Chứng minh rằng nếu A, B là hai tập con tương đối compact của $\mathscr{M}_{IV}$, thì hạn chế trên $A \times B$ của ánh xạ $(\mu, \nu) \mapsto \mu * \nu$ từ $\mathscr{M}_{IV} \times \mathscr{M}_{IV}$ vào $\mathscr{M}_{IV}$ là liên tục. (Hạn chế sự chú ý vào trường hợp A và B là compact, và bắt đầu bằng cách chứng minh rằng ảnh của $A \times B$ qua ánh xạ trước đó khi đó là compact đối với $\sigma(\mathscr{M}^1(G), (\mathscr{M}^1(G))')$; về việc này, áp dụng các định lý của Eberlein và Šmulian (TVS, IV, §5, No. 3), và do đó rút gọn về việc chứng minh rằng nếu $(\mu_n), (\nu_n)$ là hai dãy hội tụ về 0 trong $\mathscr{M}_{IV}$, thì điều tương tự cũng đúng với dãy $(\mu_n * \nu_n)$; sử dụng Mệnh đề 12 và Bài tập 15 của Ch. V, §5. Cuối cùng, để chứng minh rằng $(\mu, \nu) \mapsto \mu * \nu$ là liên tục đối với $\mathscr{T}_{IV}$, sử dụng c) và sự kiện rằng $\mathscr{T}_{III}$ thô hơn $\mathscr{T}_{IV}$.)

e) Lấy $G = \mathbf{R}^2$; cho $a, b$ là các vectơ của cơ sở chính tắc của G trên $\mathbf{R}$, $\rho_n$ là độ đo trên khoảng $I = [0, \pi]$ của $\mathbf{R}$ có mật độ đối với độ đo Lebesgue là hàm $\sin(2^n x)$, và $\mu_n$ là độ đo $\rho_n \otimes \varepsilon_0$ trên $\mathbf{R} \times \mathbf{R}$; mặt khác cho $\nu_n = \varepsilon_{b/2^n} - \varepsilon_0$ trên G. Chứng minh rằng dãy $(\mu_n)$ tiến tới 0 trong $\mathscr{M}_{IV}$ và dãy $(\nu_n)$ tiến tới 0 trong $\mathscr{M}_{III}$, nhưng dãy $(\mu_n * \nu_n)$ không tiến tới 0 trong $\mathscr{M}_{IV}$ (xem Ch. V, §5, Bài tập 16).

f) Cho một ví dụ trong đó G là compact và trong đó $(\mu, \nu) \mapsto \mu * \nu$, được xem như một ánh xạ từ $\mathscr{M}_{IV} \times \mathscr{M}_{IV}$ vào $\mathscr{M}_{IV}$, không là nửa liên tục đối với các tập con compact của $\mathscr{M}_{IV}$ (cùng phương pháp như trong Bài tập 6, bằng cách nhận thấy rằng đối với một $f \in E$ đã cho tồn tại các tập con compact $H \subset \mathscr{M}_{IV}$ sao cho tập hợp các hàm $t \mapsto \int f(st)\ d\mu(s)$, trong đó $\mu$ chạy trên H, có hạng hữu hạn trên $\mathbf{R}$).

12) Cho G là một nhóm địa phương compact không đơn môđula.

a) Chứng minh rằng tồn tại một độ đo dương bị chặn $\mu$ trên G sao cho $\Delta_G \cdot \mu$ không bị chặn (lấy $\mu$ là rời rạc).

b) Cho $\mu'$ là một độ đo Haar trái trên G. Khi đó $\mu$ và $\mu'$ là tích chập được (Mệnh đề 5). Chứng minh rằng $\mu'$ và $\mu$ không là tích chập được.