Bài tập 12, § 4

Cho g là một đại số Lie và $\mathscr{C}^\infty g$ là giao của các $\mathscr{C}^g g$. (a) Đại số Lie $g / \mathscr{C}^\infty g$ là lũy linh. (b) Chứng minh rằng tồn tại một đại số con lũy linh $h$ của $g$ sao cho $g = h + \mathscr{C}^\infty g$. (Lập luận bằng quy nạp theo $\dim g$. Giả sử rằng $g$ không lũy linh. Cho $x \in g$ sao cho $I = \bigcap_k (\mathrm{ad}\, x)^k(g) \neq \{0\}$. Gọi $n$ là hợp của các hạt nhân của các $(\mathrm{ad}\, x)^k$. Chứng minh rằng đây là một đại số con của $g$ và rằng $g$ là tổng trực tiếp của I và $n$. Theo giả thiết quy nạp, $n$ là tổng của $\mathscr{C}^\infty n$ và một đại số con lũy linh $h$. Cuối cùng, $\mathscr{C}^\infty n \subset \mathscr{C}^\infty g$ và $I \subset \mathscr{C}^\infty g$.

(c) Kiểm chứng rằng bảng phép nhân sau xác định một đại số Lie (giải được) $g$ có chiều 5:

và các $[x_i, x_j]$ khác đều bằng không. Chứng minh rằng đối với đại số Lie này

nhưng không tồn tại đại số con bù nào của $\mathscr{C}^\infty g$ trong $g$.