Exercice 12, § 4

Soient g une algèbre de Lie, et $C^\infty g$ l’intersection des $C^p g$.

a) L’algèbre de Lie $g / C^\infty g$ est nilpotente.

b) Montrer qu’il existe une sous-algèbre nilpotente $\mathfrak{h}$ de g telle que $g = \mathfrak{h} + C^\infty g$. (Raisonner par récurrence sur dim g. Supposons g non nilpotente. Soit $x \in g$ tel que $I = \bigcap_k (\mathrm{ad}\ x)^k(g) \neq \{0\}$. Soit $\mathfrak{n}$ la réunion des noyaux des $(\mathrm{ad}\ x)^k$. Montrer que c’est une sous-algèbre de g, et que g est somme directe de I et $\mathfrak{n}$. D’après l’hypothèse de récurrence, $\mathfrak{n}$ est somme de $C^\infty \mathfrak{n}$ et d’une sous-algèbre nilpotente $\mathfrak{h}$. Enfin, $C^\infty \mathfrak{n} \subset C^\infty g$ et $I \subset C^\infty g$.

c) Vérifier que la table de multiplication suivante définit une algèbre de Lie (résoluble) g de dimension 5 :

les autres $[x_i, x_j]$ étant nuls. Montrer que pour cette algèbre de Lie, on a $C^\infty g = Kx_3 + Kx_4 + Kx_5$, mais qu’il n’existe aucune sous-algèbre supplémentaire de $C^\infty g$ dans g.