Bài tập 21, § 4

Cho $g$ là một đại số Lie và $\sigma$ là một tự đẳng cấu của $g$. (a) Trước hết giả sử rằng $K$ đóng đại số; với mọi $\lambda \in K$, gọi $L_\lambda$ là tập hợp các $x \in g$ bị triệt tiêu bởi một lũy thừa của $\sigma - \lambda I$; $g$ là tổng trực tiếp của các $L_\lambda$. Chứng minh rằng $[L_\lambda, L_\mu] \subset L_{\lambda \mu}$. (Chú ý rằng

(b) Với một trường $K$ tùy ý, giả sử rằng không một trị riêng nào của $\sigma$ (trong một mở rộng đóng đại số của $K$) là một nghiệm đơn vị. Chứng minh rằng $g$ là lũy linh. (Rút gọn về trường hợp $K$ đóng đại số. Nếu $\lambda_1, \ldots, \lambda_m$ là các trị riêng phân biệt của $\sigma$, thì các $\lambda_i \lambda_j, \lambda_i \lambda_j^2, \lambda_i \lambda_j^3, \ldots$ không phải tất cả đều là các trị riêng và do đó $\mathrm{ad}_g x$ là lũy linh đối với $x \in L_{\lambda_i}$. Kết luận bằng cách sử dụng Bài tập 11 áp dụng cho tập hợp các $\mathrm{ad}_g x$, trong đó $x$ chạy qua hợp của các $L_{\lambda_i}$.) (c) Với một trường $K$ tùy ý, giả sử rằng $\sigma^q = I$, trong đó $q$ là một số nguyên tố và không có trị riêng nào của $\sigma$ bằng 1. Chứng minh rằng $g$ là lũy linh. (Cùng phương pháp như trong (b), nhận thấy rằng, nếu $g \neq \{0\}$, $g$ không bằng đặc số của $K$ và rằng đối với mọi cặp có thứ tự các trị riêng $\lambda_i, \lambda_j$ của $\sigma$ tồn tại một số nguyên $k$ sao cho $\lambda_i \lambda_j^k = 1$.)