Exercice 21, § 4

Soient $g$ une algèbre de Lie, $\sigma$ un automorphisme de $g$. a) On suppose d’abord $K$ algébriquement clos ; pour tout $\lambda \in K$, soit $L_\lambda$ l’ensemble des $x \in g$ qui sont annulés par une puissance de $\sigma - \lambda I$; $g$ est somme directe des $L_\lambda$. Montrer que $[L_\lambda, L_\mu] \subset L_{\lambda \mu}$. (Remarquer que $(\sigma - \lambda \mu I)([x, y]) = [(\sigma - \lambda I)x, \sigma y] + [\lambda x, (\sigma - \mu I)y]$). b) Le corps $K$ étant quelconque, supposons qu’aucune des valeurs propres de $\sigma$ (dans une extension algébriquement close de $K$) ne soit une racine de l’unité. Montrer que $g$ est nilpotente. (Se ramener au cas où $K$ est algébriquement clos. Si $\lambda_1, \ldots, \lambda_m$ sont les valeurs propres distinctes de $\sigma$, les $\lambda_i \lambda_j, \lambda_i \lambda_j^2, \lambda_i \lambda_j^3, \ldots$ ne sont pas tous des valeurs propres, donc $\operatorname{ad}_g x$ est nilpotent pour $x \in L_{\lambda_i}$. Conclure à l’aide de l’exerc. 11 appliqué à l’ensemble des $\operatorname{ad}_g x$, où $x$ parcourt la réunion des $L_{\lambda_i}$. c) Le corps $K$ étant quelconque, on suppose que $\sigma^q = I$, où $q$ est un nombre premier, et qu’aucune valeur propre de $\sigma$ ne soit égale à 1. Montrer que $g$ est nilpotente. (Même méthode que dans b), en observant que, si $g \neq \{0\}$, $q$ n’est pas égal à la caractéristique de $K$, et que, pour tout couple de valeurs propres $\lambda_i, \lambda_j$ de $\sigma$, il existe un entier $k$ tel que $\lambda_i \lambda_j^k = 1$.)