Bài tập 22, § 4

(a) Cho $u, v$ là hai tự đồng cấu của một không gian vectơ $E$ có số chiều hữu hạn trên một trường đóng đại số $K$. Với mọi trị riêng $\lambda$ của $u$, gọi $E_\lambda$ là không gian con của $E$ gồm các vectơ bị triệt tiêu bởi một lũy thừa của $u - \lambda I$. Chứng minh rằng, nếu $(\mathrm{ad}\, u)^n v = 0$, các không gian con $E_\lambda$ là ổn định dưới tác động của $v$. (b) Suy ra từ (a) rằng, nếu $g$ là một đại số Lie lũy linh gồm các tự đồng cấu của $E$, thì $E$ là tổng trực tiếp của các không gian con $F_j$ ($1 \leq j \leq m$) ổn định dưới $g$ và sao cho trên mỗi $F_j$, hạn chế của mọi phần tử $u \in g$ có thể được viết $\lambda_j(u) I + u_j$, trong đó $\lambda_j(u) \in K$ và $u_j$ là lũy linh. (c) Nếu $K$ có đặc số 2, $E = K^2$ và $g$ là đại số lũy linh $\mathfrak{sl}(2, K)$, chứng minh rằng $m = 1$ và có thể xảy ra $\lambda(u + v) \neq \lambda(u) + \lambda(v)$ đối với hai phần tử $u, v$ của $g$. (Về phần tiếp theo của bài tập này, xem § 5, Bài tập 12.)