Exercice 22, § 4

a) Soient $u, v$ deux endomorphismes d’un espace vectoriel $E$ de dimension finie sur un corps algébriquement clos $K$. Pour toute valeur propre $\lambda$ de $u$, soit $E_\lambda$ le sous-espace de $E$ formé des vecteurs annulés par une puissance de $u - \lambda I$. Montrer que, si $(\operatorname{ad} u)^n v = 0$, les sous-espaces $E_\lambda$ sont stables pour $v$. b) Déduire de a) que, si $g$ est une algèbre de Lie nilpotente d’endomorphismes de $E$, $E$ est somme directe de sous-espaces $F_j$ ($1 \leq j \leq m$), stables pour $g$, et tels que, dans chaque $F_j$, la restriction de tout élément $u \in g$ s’écrive $\lambda_j(u)I + u_j$, où $\lambda_j(u) \in K$ et $u_j$ est nilpotent. c) Si $K$ est de caractéristique 2, $E = K^2$, et si $g$ est l’algèbre nilpotente $\mathfrak{sl}(2, K)$, montrer que $m = 1$, et que l’on peut avoir $\lambda(u + v) \neq \lambda(u) + \lambda(v)$ pour deux éléments $u, v$ de $g$. (Pour une suite de cet exerc. cf. § 5, exerc. 12.)