Bài tập 23, § 4

Cho $g$ là một đại số Lie $p$ trên một trường hoàn hảo $K$ có đặc số $p > 0$. $g$ được gọi là $p$-unipotent nếu với mọi $x \in g$ tồn tại $m$ sao cho $x^{p^m} = 0$.

(a) Chứng minh rằng mọi đại số Lie $p$ $p$-unipotent đều lũy linh.

(b) Giả sử rằng $g$ là lũy linh và gọi $h$ là lõi $p$ của tâm của $g$ ($§ 1$, Bài tập 23 (a)). Chứng minh rằng $g/h$ là $p$-unipotent.

(c) Cho $g$ là đại số Lie $p$ lũy linh có một cơ sở gồm ba phần tử $e_1, e_2, e_3$ sao cho $[e_1, e_2] = [e_1, e_3] = 0,\ [e_2, e_3] = e_1,\ e_1^p = e_1,\ e_2^p = e_3^p = 0$. Khi đó $h = K e_1$, nhưng $g$ không phải là tổng trực tiếp của $h$ và một đại số con $p$-unipotent.

(d) Nếu $g$ là $p$-unipotent, chứng minh rằng trong đại số bao quanh hạn chế của $g$, iđêan hai phía sinh bởi $g$ là lũy linh. (Lập luận bằng quy nạp theo chiều của $g$.)