Exercice 23, § 4

Soit $g$ une $p$-algèbre de Lie sur un corps parfait $K$ de caractéristique $p > 0$. On dit que $g$ est $p$-unipotente si, pour tout $x \in g$, il existe $m$ tel que $x^{p^m} = 0$. a) Montrer que toute $p$-algèbre de Lie $p$-unipotente est nilpotente. b) On suppose $g$ nilpotente, et on désigne par $h$ le $p$-cœur du centre de $g$ (§ 1, exerc. 23 a)). Montrer que $g/h$ est $p$-unipotente. c) Soit $g$ la $p$-algèbre de Lie nilpotente ayant une base de 3 éléments $e_1, e_2, e_3$ tels que $[e_1, e_2] = [e_1, e_3] = 0,\ [e_2, e_3] = e_1,\ e_1^p = e_1,\ e_2^p = e_3^p = 0.$

On a $\mathfrak{h} = K e_1$, mais $g$ n’est pas somme directe de $\mathfrak{h}$ et d’une $p$-sous-algèbre $p$-unipotente.

d) Si $g$ est $p$-unipotente, montrer que, dans l’algèbre enveloppante restreinte de $g$, l’idéal bilatère engendré par $g$ est nilpotent. (Raisonner par récurrence sur la dimension de $g$.)