Bài tập 7, § 4

(a) Cho $V$ là một không gian vectơ hữu hạn chiều trên $K$, $g$ là một đại số Lie gồm các tự đồng cấu lũy linh của $V$ và $(V_r)_{0 \leq r < n}$ là một dãy giảm các không gian con vectơ của $V$, với $V_0 = V, V_n = \{0\}$ và $g(V_r) \subset V_{r+1}$ với $0 \leq r < n$. Chứng minh bằng quy nạp theo $i$ rằng $(\mathscr{D}^i g)(V_r) \subset V_{r+2^i}$. Nếu $\dim V \geq 2^i$, không gian con gồm các phần tử của $V$ bị triệt tiêu bởi $\mathscr{D}^i g$ có chiều $\geq 2^i$. Nếu $\dim V \leq 2^i$, $\mathscr{D}^i g = \{0\}$.

(b) Cho $g$ là một đại số Lie lũy linh và $i$ là một số nguyên $\geq 0$. Nếu $\dim \mathscr{D}^i g > 2^i + 1$ thì tâm của $\mathscr{D}^i g$ có chiều $\geq 2^i$. Nếu $\dim \mathscr{D}^i g \leq 2^i + 1$, $\mathscr{D}^i g$ là giao hoán. (Áp dụng (a) cho các hạn chế lên $\mathscr{D}^i g$ của ad$_g$ $x, x \in g$.)

(c) Cho $g$ là một đại số Lie lũy linh và $i$ là một số nguyên $\geq 0$. Nếu $\mathscr{D}^i g$ không giao hoán, $\mathscr{D}^i g/\mathscr{D}^{i+1} g$ có chiều $\geq 2^i + 1$. (Rút gọn nó, bằng cách chuyển qua thương, về trường hợp $\dim \mathscr{D}^{i+1} g = 1$ và dùng (b).)