Exercice 7, § 4

a) Soit V un espace vectoriel de dimension finie sur K, g une algèbre de Lie d’endomorphismes nilpotents de V, $(V_r)_{0 \leq r \leq n}$ une suite décroissante de sous-espaces vectoriels de V, avec $V_0 = V, V_n = \{0\}$, et $g(V_r) \subset V_{r+1}$ pour $0 \leq r < n$. Montrer, par récurrence sur i, que $(\mathscr{O}^i g)(V_r) \subset V_{r+2^i}$. Si dim $V \geq 2^i$, le sous-espace des éléments de V annulés par $\mathscr{O}^i g$ est de dimension $\geq 2^i$. Si dim $V \leq 2^i$, $\mathscr{O}^i g = \{0\}$.

b) Soient g une algèbre de Lie nilpotente, i un entier $\geq 0$. Si dim $\mathscr{O}^i g > 2^i + 1$, le centre de $\mathscr{O}^i g$ est de dimension $\geq 2^i$. Si dim $\mathscr{O}^i g \leq 2^i + 1$ $\mathscr{O}^i g$ est commutative. (Appliquer a) aux restrictions à $\mathscr{O}^i g$ des $\mathrm{ad}_g x, x \in g$.

c) Soient g une algèbre de Lie nilpotente, i un entier $\geq 0$. Si $\mathscr{O}^i g$ n’est pas commutative, $\mathscr{O}^i g / \mathscr{O}^{i+1} g$ est de dimension $\geq 2^i + 1$. (Se ramener, par passage au quotient, au cas où dim $\mathscr{O}^{i+1} g = 1$, et utiliser b).)