Bài tập 8, § 4

Cho $g$ là một đại số Lie, $m$ là một iđêan có đối chiều 1, $x$ là một phần tử của $g$ không thuộc $m$ và $z \in g$.

(a) Chứng minh rằng ánh xạ tuyến tính $D$ rút gọn về 0 trên $m$ và gửi $x$ vào $z$ là một đạo hàm nếu $z$ thuộc đại số trung tâm hoá $a$ của $m$ trong $g$.

(b) Cho $q$ là số nguyên lớn nhất sao cho $a \subset \mathscr{C}^q g$. Chứng minh rằng nếu thêm $z \notin \mathscr{C}^{q+1} g$, thì $D$ không phải là một đạo hàm nội của $g$.

(c) Suy ra từ (a) và (b) và Bài tập 7 (c) rằng nếu $g$ là một đại số Lie lũy linh có chiều $> 1$, thì không gian vectơ các đạo hàm nội của $g$ có đối chiều $\geq 2$ trong không gian của tất cả các đạo hàm của $g$.