Exercice 8, § 4

Soient g une algèbre de Lie, m un idéal de codimension 1, x un élément de g n’appartenant pas à m, et $z \in g$.

a) Montrer que l’application linéaire D se réduisant à 0 dans m et appliquant x sur z est une dérivation si z appartient au commutant a de m dans g.

b) Soit q le plus grand entier tel que $a \subset C^q g$. Montrer que, si en outre $z \notin C^{q+1} g$, D n’est pas une dérivation intérieure de g.

c) Déduire de a) et b) et de l’exerc. 7 c) que, si g est une algèbre de Lie nilpotente de dimension $> 1$, l’espace vectoriel des dérivations intérieures de g est de codimension $\geq 2$ dans l’espace de toutes les dérivations de g.