Bài tập 1, § 6

Cho $g$ là một đại số Lie nửa đơn và $\rho$ là một biểu diễn hữu hạn chiều của $g$ trên $M$.

(a) Nếu $\rho$ là đơn và khác không, thì $H^p(g, M) = \{0\}$ với mọi $p$. (Sử dụng Mệnh đề 1 và Bài tập 12 (j) của § 3.)

(b) Với mọi $\rho$, $H^1(g, M) = \{0\}$. (Nếu $\rho$ là đơn và khác không, áp dụng (a). Nếu $\rho$ là không, sử dụng sự kiện rằng $g = \mathscr{D}g$. Trong trường hợp tổng quát, lập luận bằng quy nạp theo chiều của $\rho$: nếu $N$ là một môđun con-$g$ của $M$ phân biệt với $\{0\}$ và $M$, sử dụng dãy khớp:

được thiết lập trong Bài tập 12 (f) của § 3.) Do đó khôi phục Nhận xét 2 của no. 2.

(c) Suy ra từ (b) một chứng minh của Định lý 2. (Sử dụng Bài tập 12 (g) của § 3.) Cũng suy ra từ (b) rằng mọi đạo hàm của $g$ là nội. (Sử dụng Bài tập 12 (h) của § 3.)

(d) Với mọi $\rho$, $H^2(g, M) = \{0\}$. (Lập luận như trong (b), chỉ cần xét trường hợp $\rho = 0$. Cho $c \in H^2(g, M)$. Xét, theo Bài tập 12 (i) của § 3, mở rộng trung tâm $h$ của $g$ bởi $M$ được xác định bởi $c$. Biểu diễn phụ hợp của $h$ xác định một biểu diễn của $g$ trên $h$. Theo Định lý 2, $M$ nhận trong $h$ một phần bù ổn định dưới $g$ và do đó mở rộng là tầm thường. Vì vậy $c = 0$ theo Bài tập 12 (i) của § 3.)

(e) Suy ra từ (b) và (d) một chứng minh của Định lý 5. (Như trong văn bản, nó có thể được quy về trường hợp căn là giao hoán.)