Exercice 1, § 6

Soient $g$ une algèbre de Lie semi-simple, $\rho$ une représentation de dimension finie de $g$ dans $M$.

a) Si $\rho$ est simple et non nulle, on a $H^p(g, M) = \{0\}$ pour tout $p$. (Utiliser la prop. 1, et l’exerc. 12 j) du § 3.)

b) Quelle que soit $\rho$, on a $H^1(g, M) = \{0\}$. (Si $\rho$ est simple non nulle, appliquer a). Si $\rho$ est nulle, utiliser le fait que $g = \mathscr{O}g$. Dans le cas général, raisonner par récurrence sur la dimension de $\rho$ : si $N$ est un sous-$g$-module de $M$ distinct de $\{0\}$ et de $M$, utiliser la suite exacte :

établie dans l’exerc. 12 f) du § 3.) Retrouver ainsi la remarque 2 du no 2.

c) Déduire de b) une démonstration du th. 2. (Utiliser l’exerc. 12 g) du § 3.) Déduire aussi de b) que toute dérivation de $g$ est intérieure. (Utiliser l’exercice 12 h) du § 3.)

d) Quelle que soit $\rho$, $H^2(g, M) = \{0\}$. (Raisonnant comme pour b), il suffit d’étudier le cas où $\rho = 0$. Soit $c \in H^2(g, M)$. Considérer, conformé-

1 Ce résultat, inédit, nous a été communiqué par N. Jacobson.

ment à l’exerc. 12 i) du § 3, l’extension centrale $\mathfrak{h}$ de $g$ par $M$ définie par $c$. La représentation adjointe de $\mathfrak{h}$ définit une représentation de $g$ dans $\mathfrak{h}$. D’après le th. 2, $M$ admet dans $\mathfrak{h}$ un supplémentaire stable pour $g$, donc l’extension est triviale. Donc $c = 0$ d’après l’exerc. 12 i) du § 3.)

e) Déduire de b) et d) une démonstration du th. 5. (Comme dans le texte, on se ramènera au cas où le radical est commutatif.)