Bài tập 12, § 6

Cho $g$ là một đại số Lie, $r$ là căn của nó và $D$ là một đạo hàm của $g$. (a) Nếu $D(r) = \{0\}$, $D$ là nội. (Gọi $c$ là bộ trung tâm của $r$ trong $g$. Biểu diễn phụ hợp của $g$ xác định một biểu diễn $x^* \mapsto \rho(x^*)$ của $g^* = g/r$ trên $c$. Mặt khác, $[D(g), r] \subset D([g, r]) + [g, D(r)] = \{0\}$, do đó $D(g) \subset c$ và do đó $D$ xác định một ánh xạ tuyến tính $D^*: g^* \to c$. Chứng minh rằng

với mọi $x^*, y^*$ trong $g^*$. Suy ra rằng tồn tại $a \in c$ sao cho $D^*x^* = \rho(x^*)a$ với mọi $x^* \in g^*$ (xem no. 2, Nhận xét 2), do đó $Dx = [x, a]$ với mọi $x \in g$.) (b) Nếu $D$ trùng với một đạo hàm nội của $g$ trên $r$, $D$ là nội. (Áp dụng (a).)