Exercice 12, § 6

Soient g une algèbre de Lie, r son radical, D une dérivation de g.

a) Si $D(r) = \{0\}$, D est intérieure. (Soit c le commutant de r dans g. La représentation adjointe de g définit une représentation $x^* \mapsto \rho(x^*)$ de $g^* = g/r$ dans c. D’autre part, $[D(g), r] \subset D([g, r]) + [g, D(r)] = \{0\}$, donc $D(g) \subset c$, donc D définit une application linéaire $D*: g^* \to c$. Montrer que $D*([x^*, y^*]) = \rho(x^*)D*y^* - \rho(y^*)D*x^*$ quels que soient $x^*, y^*$ dans $g^*$. En déduire qu’il existe $a \in c$ tel que $D*x^* = \rho(x^*)a$ pour tout $x^* \in g^*$ (cf. n° 2, Remarque 2), d’où $Dx = [x, a]$ pour tout $x \in g$.

b) Si D coïncide sur r avec une dérivation intérieure de g, D est intérieure. (Appliquer a).)