Bài tập 14, § 6

Cho $X$ là một ma trận lũy linh trong $\mathfrak{gl}(n, K)$. Chứng minh rằng tồn tại trong $\mathfrak{gl}(n, K)$ hai ma trận khác $Y, H$ sao cho $[H, X] = X,\ [H, Y] = -Y,\ [X, Y] = H$. (Lập luận bằng quy nạp theo $n$, sử dụng dạng Jordan của $X$; do đó rút gọn về trường hợp $X = E_{12} + E_{23} + \cdots + E_{n-1,n}$; rồi lấy $Y$ là một tổ hợp của các $E_{k,k-1}$ và $H$ là một tổ hợp của các $E_{jj'}$.)