Exercice 14, § 6

Soit X une matrice nilpotente dans gl(n, K). Montrer qu’il existe dans gl(n, K) deux autres matrices Y, H telles que $[H, X] = X,\ [H, Y] = -Y,\ [X, Y] = H$. (Raisonner par récurrence sur n, en utilisant la forme de Jordan de X ; se ramener ainsi au cas où $X = E_{12} + E_{23} + \cdots + E_{n-1,n}$; prendre alors Y comme combinaison des $E_{k,k-1}$ et H comme combinaison des $E_{ij}$).