Bài tập 18, § 6

(a) Cho $g$ là một đại số Lie đơn. Mọi dạng song tuyến tính bất biến trên $g$ đều hoặc bằng không hoặc không suy biến. Nếu $K$ đóng đại số, mọi dạng song tuyến tính bất biến $\beta$ trên $g$ đều tỉ lệ với dạng Killing $\beta_0$. (Xét tự đồng cấu $\sigma$ của không gian vectơ $g$ được xác định bởi $\beta(x, y) = \beta_0(\sigma x, y)$ và chứng minh rằng $\sigma$ giao hoán với $\mathrm{ad}_g x$ và do đó là vô hướng.) Chứng minh rằng kết quả này có thể sai nếu $K$ không đóng đại số. (Dùng Bài tập 17 và sự kiện rằng chiều của không gian các dạng song tuyến tính bất biến không thay đổi khi trường cơ sở được mở rộng.)

(b) Cho $g$ là một đại số Lie nửa đơn trên một trường đóng đại số. Suy ra từ (a) và Bài tập 7 (b) rằng chiều của không gian các dạng song tuyến tính bất biến trên $g$ bằng số các thành phần đơn của $g$ và rằng tất cả các dạng này đều đối xứng.

(c) Cho $g$ là một đại số Lie đơn, $M$ là không gian đối ngẫu của không gian vectơ $g$, với biểu diễn đối ngẫu của biểu diễn phụ hợp, và $h$ là tích bán trực tiếp của $g$ và $M$ được xác định bởi $x \mapsto x_M$. Với $y, z$ trong $g$ và $y', z'$ trong $M$, ta viết $\beta(y + y', z + z') = \langle y, z' \rangle + \langle z, y' \rangle$. Chứng minh rằng $\beta$ là một dạng song tuyến tính đối xứng bất biến không suy biến trên $h$, không liên kết với biểu diễn nào của $h$. (Nhận xét rằng căn và căn lũy linh của $h$ đều bằng $M$.)